17 April

＃237．半分を掛ける

１に、−１を掛けてみると、−１になる。もう一度、−１を掛けると元の１になる。これを数直線状にベクトルで表すと、最初の１は、中心のゼロから右へ１のところまでの矢印になる。これに−１を掛けるとゼロを中心にして今度は左に向いて−１までの矢印になる。もう一度、−１を掛けると右向きの矢印に戻る。この−１を掛ける操作を繰り返すと、矢印は右を向いたり左を向いたりを繰り返すことになる。これは、長さ１のベクトルがゼロを中心にしてグルグル回っているように見える。もし見えないようななら、回転しているように見て欲しい。−１を掛けるということは、ベクトルである矢印を１８０度回転することなのだと思って欲しいのだ。

そこで、−１の半分を掛けてみよう。つまり、２回掛けると−１になる数を掛けることだ。ベクトルの回転でいえば９０度回転することになる。とうことは、ベクトルの矢印は数直線の上にゼロから直立することになるのだ。その長さ１の矢印の先が、１に−１の半分を掛けたものにあることになる。２回掛けると−１になるのだから、ご存知ｉとなるわけだが、１と−１の位置関係では直行する位置にあところが興味の湧くところだ。ちなみに、このｉにｉを掛けると−１になり、９０度ずつ２回回転させたことに等しいので、１８０度の回転になる。

高校時代に複素平面なるものを習った人もいるかと思うが、ｘ軸上に複素数の実部、ｙ軸上に虚部をとるということを天下り的に教わったと思われるが、実部と虚部が直行する理由までは教えてもらわなかったと思う。こうして考えてみると、複素平面というものは単に実部をｘ軸、虚部をｙ軸に置いたようなものではなく、実に遠慮深謀の果ての産物であることがわかる。ちなみにｉの半分もあるかというと、４５度回転した数も当然存在して、計算上でも見事に一致するのだ。当たり前かもしれないが、計算した数と４５度のベクトルの先との一致が確かめられたとき、嬉しくて結構興奮したのを今でも思い出す。